Hoe kan ik een breuk krijgen?

We weten dat 0,3333… te  schrijven is als 1/3. Maar -zo vroeg ik mij af- welke breuk hoort bijv. bij 0,28012801…? Dus dit werd de opgave van de dag of beter: meerdere dagen.

Het antwoord is: 2801/9999. Zoals bij 0,3333…. de breuk 3/9=1/3 hoort en bij 0,1212…  de  breuk 12/99=4/33.

 

Ik beperk mij tot de getallen met alleen maar nullen voor de komma, een cijfer ongelijk 0 meteen na de komma en tot getallen waarbij de repetitie meteen na de komma begint. Andere getallen zijn zo te herschrijven.

Het getal 8,2121… is te schrijven als 8 + 0,2121….

Het getal 0,835212121…. is te schrijven als 835/1000 + 1/1000* 0,212121….

Het getal 0,02121… is te schrijven als 1/10 * 0,2121….

 

Abstract geformuleerd is de opdracht: Gegeven het getal 0,a₁a₂…..a_n a₁a₂…..a_n a₁a₂…..a_n….. bereken de breuk y/x. De a’s zijn cijfers, x en y zijn getallen.

Ik ben eerst -omgekeerd- met een willekeurige breuk begonnen om de systematiek te pakken te krijgen.

 

   83/ 32               \0.3855

         249

        =====

            710

             664

           =====

               460

               415

              ====

                 450

                  415

                 ====

                     35

Ik houd ermee op, want er lijkt geen herhaling in te zitten. Dan zou dat laatste getal -het restgetal-  35 32 moeten zijn. Onthoudt dat.

 

Ik ga nu deze staartdeling herschrijven:

 

   83/ 32                                         \0.3855

         249

        ====

         (10*32 -249)*10

                  664

        ==============      

           ((10*32 -249)*10 – 664)*10

                       415

            ====================

           (((10*32 -249)*10 – 664)*10 – 415)*10

                              415

              ===========================

           (((10*32 -249)*10 – 664)*10 – 415)*10 - 415

 

Nu gaan we aan de gang met de breuk y/x en zijn uitkomst: 0,a₁a₂a₃a₄ a₁a₂a₃a₄…..  met a₁ ongelijk 0. Dat ik kies voor 4 cijfers doet niet af aan de algemeenheid.

 

Voor x en y geldt: (x DIV 10) < y < x (bijv. 32 DIV 10 = 3).

 

y < x is duidelijk. Als y >= x dan levert y/x een getal voor de komma op en dat hadden we uitgesloten.

 

Als y <= (x DIV 10) dan levert dat een 0 meteen na de komma op. En ook dat hadden we uitgesloten.

Stel x=32 dan zou y <=3 moeten zijn. Stel y =3 dan is 3/32 0,093…..

Dus y/x levert 0,a₁…. op met a₁ ongelijk 0.

 

    x/ y                                        \ 0,a₁a₂a₃a₄

          a₁x

         ============

           (10y - a₁x) * 10

                   a₂x

             ==============

              ((10y - a₁x) * 10 - a₂x)*10

                             a₃x

                 ===================

                 (((10y - a₁x) * 10 - a₂x)*10 - a₃x)*10

                                    a₄x

                 ============================

                 (((10y - a₁x) * 10 - a₂x)*10 - a₃x)*10 - a₄x

 

Wil er sprake zijn van repetitie dan moet dit laatste getal gelijk zijn aan y.

 

(((10y - a₁x) * 10 - a₂x)*10 - a₃x)*10 - a₄x= y

((100y – 10*a₁x - a₂x)*10 - a₃x)*10 - a₄x = y

(1000y – 100*a₁x – 10*a₂x) - a₃x)*10 - a₄x = y

10000y – 1000*a₁x – 100*a₂x – 10* a₃x - a₄x = y

 

10000y –  y  = (a₁10³ + a₂10²  + a₃10 + a₄)*x

{algemeen: (10ⁿ – 1) * y = (a₁10^n-1 + a₂10^n-2  ….  + a_n-110 + a_n)*x}

 

9999y= a₁a₂a₃a₄x

 

Een oplossing hiervoor is: y= a₁a₂a₃a₄ en x=9999.

 

Dus 0,a₁a₂a₃a₄ a₁a₂a₃a₄….. heeft als breuk a₁a₂a₃a₄/9999 (eventueel te vereenvoudigen).

 

Ter afronding: Inderdaad y<x, want y=9999 mag niet dan is namelijk y/x=1.

En inderdaad y > (x DIV 10) oftewel y>999. Want a₁a₂a₃a₄ (=y) is minimaal 1000.

 

Q.E.D.

 

rkh, 28-05-2023