Met passer en liniaal kun je een hoek in tweeën delen, waarbij de liniaal alleen gebruikt mag worden om lijnen te trekken.* Een driedeling of trisectie van een hoek met passer en liniaal lukt niet. Is dat laatste te begrijpen?
We benaderen het probleem getalsmatig. Stel de hoek is 30.8 graden. 1/3 hoek is dus 10.266666666 … Alleen hoeken met de rest van de staartdeling eindigend op 0, 3, 6, 9 kennen geen repetitie. Hoe kun je nu een hoek ter grootte van 10.2666 … graden precies op papier krijgen? Je zet één lijn, maar waar komt precies de andere? Dat lukt dus nooit. Kortom, het kan niet verbazen dat driedeling van een hoek met passer en liniaal in het algemeen onmogelijk is.**
Terzijde: Een vijfdeling van een willekeurige hoek levert altijd een getal van eindige lengte op. Zo levert 30.8 /5 precies 6.16 op. Zou het met passer en liniaal nu wel lukken? Je bent geneigd te zeggen dat –op grond van het bovenstaande- een vijfdeling moet lukken.
Er worden in redeneringen weinig tegen de logica gezondigd. Maar dit is een voorbeeld van een logische fout die vaak wordt begaan. De bewering was: “Als repetitie optreedt dan geen (drie)deling mogelijk” ( P==> Q). Nu is de bewering “Als er geen repetitie is dan (vijf)deling mogelijk” ( ~P ==> ~Q). Echter ~P ==> ~Q volgt niet uit P ==> Q. De contrapositie van P ==> Q is ~Q ==> ~P en die is geldig.
Dus er is met de bewering dat het eind van het getal niet repeteert helemaal niets gezegd over de mogelijkheid van een vijfdeling.
8-12-2008
* Met de punt van de passer in het hoekpunt een cirkel maken die beide benen snijdt. Vanuit die twee snijpunten op de benen gelijke cirkels maken die elkaar snijden. Verbind vervolgens een van die nieuwe snijpunten met het hoekpunt. De hoek is nu opgedeeld in gelijke hoeken.
** Wel is een driedeling mogelijk van een hoek van bijv. 360°, 270°, 180°, 90°. Teken met passer en liniaal een gelijkzijdige driehoek. De som van de hoeken van een driehoek is 180°, dus een hoek is 60°. Daar kun je wat mee, bijv. weer in tweeën delen.
Abonneren op:
Reacties posten (Atom)
Geen opmerkingen:
Een reactie posten