We weten dat 0,3333… te schrijven is als 1/3. Maar -zo vroeg ik mij af- welke breuk hoort bijv. bij 0,28012801…? Dus dit werd de opgave van de dag of beter: meerdere dagen.
Het antwoord is: 2801/9999. Zoals bij 0,3333…. de breuk
3/9=1/3 hoort en bij 0,1212… de breuk 12/99=4/33.
Ik beperk mij tot de getallen met alleen maar nullen voor
de komma, een cijfer ongelijk 0 meteen na de komma en tot getallen waarbij de
repetitie meteen na de komma begint. Andere getallen zijn zo te herschrijven.
Het getal 8,2121… is te schrijven als 8 + 0,2121….
Het getal 0,835212121…. is te schrijven als 835/1000 + 1/1000*
0,212121….
Het getal 0,02121… is te schrijven als 1/10 * 0,2121….
Abstract geformuleerd is de opdracht: Gegeven het
getal 0,a1a2…..an a1a2…..an
a1a2…..an….. bereken de breuk y/x. De a’s
zijn cijfers, x en y zijn getallen.
Ik ben eerst -omgekeerd- met een willekeurige breuk
begonnen om de systematiek te pakken te krijgen.
83/ 32 \0.3855
249
=====
710
664
=====
460
415
====
450
415
====
35
Ik houd ermee op, want er lijkt geen herhaling in te zitten.
Dan zou dat laatste getal -het restgetal-
35 32 moeten zijn. Onthoudt dat.
Ik ga nu deze staartdeling herschrijven:
83/ 32 \0.3855
249
====
(10*32
-249)*10
664
==============
((10*32
-249)*10 – 664)*10
415
====================
(((10*32
-249)*10 – 664)*10 – 415)*10
415
===========================
(((10*32
-249)*10 – 664)*10 – 415)*10 - 415
Nu gaan we aan de gang met de breuk y/x en zijn uitkomst:
0,a1a2a3a4 a1a2a3a4…..
met a1 ongelijk 0. Dat
ik kies voor 4 cijfers doet niet af aan de algemeenheid.
Voor x en y geldt: (x DIV 10) < y < x (bijv.
32 DIV 10 = 3).
y < x is duidelijk. Als y >= x dan levert y/x een
getal voor de komma op en dat hadden we uitgesloten.
Als y <= (x DIV 10) dan levert dat een 0 meteen na de
komma op. En ook dat hadden we uitgesloten.
Stel x=32 dan zou y <=3 moeten zijn. Stel y =3 dan is
3/32 0,093…..
Dus y/x levert 0,a1…. op met a1
ongelijk 0.
x/ y \ 0,a1a2a3a4
a1x
============
(10y - a1x)
* 10
a2x
==============
a3x
===================
(((10y - a1x) * 10 - a2x)*10 - a3x)*10
a4x
============================
(((10y - a1x) * 10 - a2x)*10 - a3x)*10
- a4x
Wil er sprake zijn van repetitie dan moet dit laatste
getal gelijk zijn aan y.
(((10y - a1x) * 10 - a2x)*10 - a3x)*10
- a4x= y
((100y – 10*a1x - a2x)*10 - a3x)*10
- a4x = y
(1000y – 100*a1x – 10*a2x) - a3x)*10
- a4x = y
10000y – 1000*a1x – 100*a2x – 10* a3x
- a4x = y
10000y – y = (a1103 + a2102 + a310 + a4)*x
{algemeen: (10n – 1) * y = (a110n-1
+ a210n-2 …. + an-110 + an)*x}
9999y= a1a2a3a4x
Een oplossing hiervoor is: y= a1a2a3a4
en x=9999.
Dus 0,a1a2a3a4
a1a2a3a4….. heeft als breuk a1a2a3a4/9999
(eventueel te vereenvoudigen).
Ter afronding: Inderdaad y<x, want y=9999 mag niet dan
is namelijk y/x=1.
En inderdaad y > (x DIV 10) oftewel y>999. Want a1a2a3a4
(=y) is minimaal 1000.
Q.E.D.
rkh, 28-05-2023
