√2 is voor het intellect zowel een affront als een uitdaging.
√2 is de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, waarvan de rechte zijden de lengte 1 hebben. Een eindige lengte dus en dat is voor iedereen helder.
Maar anderzijds staat √2 voor 1,414231..... En dat gaat dus eindeloos door. Mijn intuïtie zegt dat dit niet kan. Een simpele reductio ad absurdum redenering* laat echter zien, dat dit moet kloppen. Er komt inderdaad geen einde aan en dat is voor iedereen inzichtelijk te maken.
Hiermee is de paradox geschetst.
De oplossing van de paradox is beide werkelijkheden, die van de rekenkunde en die van de werkelijkheid, gewoon in hun eigenheid te accepteren. Er ontstaat een probleem, wanneer we een 1-op-1-correspondentie -een volledige dekking- eisen.
Vergelijk het met het doen van de uitspraken "Marokkanen zijn leuk" en "Marokkanen zijn niet leuk". Wanneer ideaal en realiteit goed worden onderscheiden dan is er niets aan de hand.
De rekenkunde is een formeel systeem met definities, axioma's, stellingen en regels. Eén van de afspraken is bijv. dat √2.√2=2, dat met ⅓ wordt gerekend i.p.v. met 0.33333...., dat met π wordt gerekend.
Als het gaat om de vertaling naar de realiteit van alledag en wordt vanuit de realiteit gekeken, dan moet gezegd worden dat er "gaten" in de getallenlijn zitten: je kunt ⅓ wel van links en rechts benaderen, maar je komt er nooit. Zo'n gat is voor te stellen als een asymptoot**; bij benadering van rechts een schoorsteen en van links een put.
Maar gelukkig blijven er nog voldoende bindingen met de werkelijkheid over. Zo'n houvast is bijv. 6/3.
* Stel dat de cijferreeks 1,4 .. van √2 eindig is, dan moet het laatste cijfer 0 zijn. Want alleen dan levert het kwadraat 2,....0. op. Wat is het één na laatste cijfer? Probeer een cijfer uit en je ziet dat alleen 0 resultaat geeft. Dus uiteindelijk zit je met 1,00....0 en dat kwadrateren levert nooit 2,00...0 op. Conclusie: de cijferreeks is niet eindig.
Mijn intuïtie is fout, omdat ik vanuit de realiteit naar een formeel systeem keek.
** Stel y= 1/ (x -⅓). Is ⅓ van rechts tot op 1/1000 ( 1/10.000) genaderd dan is de functiewaarde 1000 (10.000).
rkh, 13-11-2010
Abonneren op:
Reacties posten (Atom)
3 opmerkingen:
De rationele, mathematische wereld is echt. De "echte" wereld, wat men realiteit noemt, is een illusie.
PJ te N
Alternatieve visie: de belevingswereld is de echte wereld. Wat men ziet en beredeneert kan daar een adequaat beeld van geven maar het kan ons ook foppen. Alleen ons gevoel maakt duidelijk wat echt is en wat illusie is.
In concreto kan dit betekenen dat voor de een "wortel 2" echt is (goed gevoel bij) en voor de ander dat "wortel 2" een illusie is (slecht gevoel bij).
PJ te N
Maak het niet te ingewikkeld.
Ik heb er lang over moeten nadenken, maar de zaak is vrij simpel.
Je hebt bijv. taal en werkelijkheid. "Kerk" verwijst naar Kerk etc. Taal -een systeem- heeft zijn eigen regels. Die regels kunnen "problemen" geven. Een goed woord is "Kerkparkiet", is alleen (nog) zonder betekenis.
Er is geen 1-op-1 relatie tussen taal en werkelijkheid.
Dus ik beweer dat een systeem met eigen axioma's en regels singulariteiten kan opleveren, die met niets in de werkelijkheid correponderen.
Zo zou een zwart gat gevolg kunnen zijn van de theorie, zonder correlaat in de werkelijkheid.
Dit voor de sake of the argument.
Een reactie posten