Bewijs & Heuristiek

De formule die bij een meetkundige rij hoort, is:

S(n) = a.(1- r^(n+1))/ (1-r).

Het bewijs gaat als volgt:

S(n)= a + a.r^1 + a.r^2+ a.r^3+ a.r^4 ….. a.r^n (meetkundige rij)

r.S(n)= a.r^1 + a.r^2+ a.r^3+ a.r^4 ….. a.r^n + a.r^(n+1) (links en rechts keer r)

(1-r).S(n)= a - a.r^(n+1) (verschil van het voorgaande)

S(n) = a.(1- r^(n+1))/ (1-r) Q.E.D.

Dit bewijs is de justification. Die krijg je in het onderwijs voorgeschoteld met de suggestie dat dat het is. En de conclusie kan niet anders zijn dan dat jezelf kennelijk te dom bent om zo’n formule en zo’n bewijs te bedenken.

Hoe je op en aan dit bewijs komt –de invention- dat leer je in het onderwijs niet. Er is geen ruimte voor Heuristiek, de kunst van het vinden. Dat komt door angst voor chaos in de klas. Want hoe creativiteit te kanaliseren en hoe om te gaan met snelheidsverschillen en met leerlingen die “het” niet in zich hebben?

De heuristiek is hier: schrijf het eens uit voor a=1, r=2 en n=1,2,3 .. en probeer het patroon te herkennen; schrijf het uit voor a=1, r=3 en n=1,2,3 … etc.

Dit simpele en strenge bewijs illustreert voor mij overigens wel mooi de schoonheid van wiskunde.


rkh, 20-11-2009